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第61章（第1页）

因此，不可避免地，古典文化渐渐地成了一种注重&ldo;小&rdo;（sall）的文化。其阿波罗式的心灵试图借助可见的界限这一原则来把捉既成之物的意义；它的禁忌集中施于直接在场的、最最接近的陌生事物上面。至于那些玄远的、不可见的东西，事实上都是&ldo;不存在的&rdo;。希腊人和罗马人一样，都把自己的热情献给了他赖以寄居的那个空间范围的神灵；所有其他的神灵都是视力所不及的。恰如希腊语‐‐我们将一次又一次提及这种语言现象强大的象征意义‐‐没有用以表达空间的词一样，希腊人自己也缺乏我们对景观、地平线、展望、距离、云彩等所具有的那种感受，缺乏对广袤无涯的、环抱着伟大的国家的国土的观念。故土，对于古典人来说，就是他从家乡小镇的城堡一眼能望见的一切。所有超出这一政治原子的视力范围之外的一切，都是陌生的，也是有敌意的；超出了那一狭窄的范围，就会顿生恐惧，因此，由于这种不堪忍受的痛苦，那些小镇总是相互倾轧。城邦是所有可以想象的国家形式中最小的，它的政策是直接针对小范围的，这与我们自己的内阁外交是极度不同的，后者的政策是无限范围的。同样地，古典的神庙是所有第一流的建筑中形制最小的，一眼便可以看尽。古典几何学，从阿基塔斯到欧几里得‐‐今日学校里所学的几何学，仍是以它为主导‐‐所关心的只是小的、可以处理的图形和物体，因此对绘制天文维度的图象时会产生什么样的困难一无所知，因为在许多情况下，欧几里得几何学对于绘制天文图象根本不适合。如果不是古典文化太局限于微小而切近的事物，则精妙的阿提卡精神，几乎可以确定，必能解决非欧几何的某些难题，因为它曾对著名的&ldo;平行&rdo;公理提出过批评，虽然它的怀疑很快引起了反对的意见，但并未获得合理的阐明。这一批评实际上十分接近于非欧几何的决定性的发现。古典心灵不加怀疑地投身于或者说把自己局限于小的和切近的东西的研究，就如同我们的心灵不加怀疑地投身于或局限于无限的和超视觉的事物的研究一样。西方人凭自己发现的或从别人那里借来的所有数学观念，都自动地从属于微分的形式语言，并且早在真正的微积分发明之前就已经这么做了。阿拉伯的代数、印度的三角、古典的力学，事实上全在数学分析中被合并为一个东西了。甚至连初等算术中最&ldo;自明的&rdo;算式，如2&tis;2=4，一当以数学分析来考虑，也变得有问题了，而对这些问题的解决只有通过集合理论的演绎才是可能的，可即便如此，还是有许多难点未能解决。柏拉图和他的时代也许会把这种东西不仅看作是错觉，而且看作是一个全然非数学的心灵的证据。在某些情形下，几何可以用代数的方式来处理，而代数也可以用几何的方式来处理，这就是说，我们的眼睛可以闭上，也可以让我们的眼睛来统领一切。我们采取的是前一种态度，而希腊人采取的是第二种态度。阿基米德在对螺线作的美妙的处理中，已经触及到了某些一般的事实，这些事实在莱布尼茨的定积分方法中也是基础性的；但是，阿基米德的研究，即便与近代的研究有着一切表面的相似，也仍是从属于测体术的原则的；同样的情形，印度的数学家自然也可以发现某些三角公式。

十三

从古典数字与西方数字的这一根本对立中，产生出了一个同样根本的区别，那就是要素间的关系在这两个数字世界中的区别。在古典数学中，数量之间的联系被称作比例；在西方数学中，关系之间的联系全包含在函数的观点中。&ldo;比例&rdo;和&ldo;函数&rdo;这两个词的意义不只局限于数学；它们在雕塑和音乐这两个相关的艺术领域也极为重要。除了在单体雕像各部分的安排中，比例占有很重要的地位之外，雕像、浮雕、壁画等典型的古典艺术形式，都有尺度的扩大与缩小‐‐而在音乐中，这些词便毫无意义‐‐正如我们在钻石艺术中所看到的，在那里，主题本质上是原石料按比例的缩小。相反，在函数的领域，具有决定性的重要意义的，乃是群的转换（transforationofgroups），而音乐家也乐于承认，同样的观念在现代作曲理论中也具有本质的地位。我只需提及18世纪最美妙的一种管弦乐形式‐‐变奏曲，便足可证明这一点。

所有的比例，都是基于各要素的不变性，而所有的转换，都是基于各要素的可变性。例如，比较一下对称定理的不同证明：欧几里得对它的证明事实上有赖于一个事先假定的1:1的比率，而近代数学是通过角函数来演绎出相同的定理。

十四

古典数学整个地是一种构成（nstruction）（广义上说，它包括初等算术），也就说，是某个单一的、在视觉上在场的图形的生产。在这一可称作第二雕刻的艺术中，圆规就是它的凿子。而另一方面，在函数研究中，对象不是以体量大小表现出来的结果，而是对一般的形式可能性的讨论，其工作方式可最好地描述为是一种与音乐十分类似的作曲程序；并且事实上，有许许多多的观念与音乐理论（例如音调、乐句、音阶等）是交汇的，这些观念皆可直接运用于物理学，至少可以证明，有许多关系通过这种运用可以得到说明。

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